離散フーリエ変換 その3

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前回記事を書いてからだいぶ時間が経ってしまって5月にエントリがひとつもないのもさみしいので、書きかけだった記事をアップしておきます。iPadから書き込んでみたいというのもあったので…。

最近はiPhoneOS4.0にどっぷり使っていまして、あまり書けることがないんですよねぇ。ってことで、フーリエ変換の流れで今回は位相の話です。逆離散フーリエ変換とか行きたいところですが、またの機会にします。

位相とは

これまでの説明で何度か位相という言葉を使ってきたと思いますが、ちゃんとその定義を調べずに使っていたので、改めてwikipediaなどを見てみますと…

位相 (Wikipedia)

「ひとつの周期中の位置を示す無次元量」なんて書いてあって、無次元量って何だ?なんて思ってしまうわけですが、まぁ、DFTで使っているサイン波でいえば、サイン波の中のどの位置かということと思われます。さらに、周期のスタート位置の位相は「初期位相」というそうで、初期位相の事を単純に位相といわれたりすることもある、だそうです。「位相が○度ずれている」と言ったときには、2つの同じ周波数のサイン波を同じ時間軸にならべた状態で「初期位相が○度ずれている」という理解になるかと思います。

サイン関数を使ってサイン波を作る場合などは位相をラジアンで渡して値を取得しますが、0〜2π(角度で表すなら0°〜360°)が一周期で、2π以上や0以下の値を渡しても、返ってくるのは同じ値の繰り返しとなります。たとえば、0から始まるサイン波と、2πや4πや-2πから始まるサイン波というのは、全く同じ形となりますので、同じ位相といえます(たぶん)。DFTの周波数成分は、繰り返されているサイン波の1周期ですので、その位相はどこか2π分の範囲の中の位置だけを考えれば良い事になります。

DFT03_01.jpg

直線位相特性

よくデジタルフィルタの本をみていると、FIRフィルタだと位相のずれがない直線位相特性のフィルタが実現できるなんて書いてあったりします。下の図が直線位相特性のグラフなのですが…

DFT03_03.jpg

これを最初見た時は位相がずれないといってるのに、位相が周波数によってずれるというのが僕はよく理解できなかったのですが、いくつかのサイン波を並べて同じ時間遅らせて、遅らせたタイミングでも同じ波形になるようにしてみるとわかります。

DFT03_02.jpg

上の図では1Hzのサイン波を3/4周期遅らせて、同じ時間2Hzと3Hz遅らせて並べてみています。元のサイン波が緑色で、遅らせたサイン波が青色です。各周波数を同じ時間遅らせているので、遅らせたあとの波形はどの周波数も元の波形と同じ形に保たれます。

1Hzの3/4周期の遅れに対して、2Hzは3/2周期、3Hzは9/4周期、と位相がずれています。このような感じで周波数に比例して位相がずれるというのが直線位相特性です。直線位相特性を実現したフィルタを使用すれば、周波数によって位相のずれがないので、クオリティの高い処理ができるということのようです。

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